Ο Μπουρντόνσκι εργάζονταν ως σκηνοθέτης στο Θέατρο του Στρατού, από το 1972.

Πατέρας του ήταν ο Βασίλι Στάλιν και μητέρα του η Γκαλίνα Μπουρντόνσκαγια. Μετά τον χωρισμό τους και συγκεκριμένα το 1954 ο Αλεξάντρ πήρε το επίθετο της μητέρας του. Ο ίδιος σε μια από τις συνεντεύξεις του, είχε δηλώσει ότι είχε δει από μακριά τον παππού που στέκονταν στο βήμα σε μια από τις παρελάσεις στην Κόκκινη Πλατεία και από κοντά, μόνο μια φορά: στην κηδεία του, το 1953.